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Resumo:

A série estreou em 7 de junho de 2009, no Reino Unido, e em 18 de junho de 2011, no 💹 Brasil.

O filme original se baseou na "Troca da Família" de William Shakespeare, como se

diz em jogos de ganhar dinheiro via pix peça, e o roteiro 💹 em jogos de ganhar dinheiro via pix própria história.

A jogos de ganhar dinheiro via pix estreia ocorreu em 24 de setembro de 2009, no Festival de Cannes 2008, e foi 💹 seguido de três outros filmes da série, ambos no mesmo ano.

Em 25 de julho de 2009, Michael H.


texto:

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NOTAS E COMENTÁRIOS

Loteria esportiva - uma aplicação de teoria da decisão

Paulo Henrique Soto Costa

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro1.INTRODUÇÃO

A 🎉 loteria esportiva é um jogo de grande importância no Brasil.

Ela exerce um imenso fascínio sobre o brasileiro e arrecada atualmente 🎉 cerca de Cr$ 400 milhões por semana.

Este fascínio pode ser explicado por muitos fatores, entre os quais podemos citar:

a) o 🎉 fato de ela ser um jogo que envolve futebol, que, por si, já fascina o brasileiro;

b) a ilusão, de que 🎉 o sucesso depende do apostador: quando ele perde, a culpa é dele, que não soube marcar o cartão;

c) a ilusão 🎉 dos grandes prêmios em jogo: com apenas Cr$ 10,00, o apostador pode ganhar Cr$ 100 milhões.

Neste artigo pretendemos estudar o 🎉 problema da loteria esportiva como um problema de teoria da decisão, sugerindo uma estratégia racional para o apostador, que torne 🎉 o jogo mais favorável para ele.2.

ANÁLISE DE ALGUMAS ESTRATÉGIAS COMUNS

Vamos definir palpite do apostador como sendo jogos de ganhar dinheiro via pix escolha de uma 🎉 entre as três possibilidades que ele tem em um jogo: coluna um, coluna do meio e coluna dois.

Vamos definir aposta 🎉 do apostador em um teste da loteria esportiva como sendo um conjunto de 13 palpites, um para cada jogo.

Para simplicidade 🎉 de exposição, vamos supor que fosse possível fazer apenas uma aposta em um teste; assim, supomos que o apostador possa 🎉 marcar uma aposta em um cartão (sem palpites duplos ou triplos) e pagar Cr$ 5,00 (atualmente) por esta aposta.

Caso deseje 🎉 apostar mais, ele poderá fazer outras apostas, no mesmo cartão (através de palpites duplos e triplos) ou não.

Assim, nossa unidade 🎉 de trabalho é a aposta e não o cartão.

É comum encontrarmos apostadores com os mais diferentes métodos de apostar, entre 🎉 os quais podemos citar:1.

Estragégia A: marcar o cartão aleatoriamente, ou segundo um esquema preestabelecido, mas sem saber quais são os 🎉 jogos.2.

Estratégia B: escolher o palpite de cada jogo de acordo com o que se supõe ser o resultado mais provável 🎉 do jogo.3.

Estratégia C: escolher, para alguns jogos, o palpite correspondente ao resultado mais provável, e, para os outros, o menos 🎉 provável.

Entre os parâmetros fundamentais da teoria da decisão, podemos citar:

a) as conseqüências monetárias de uma decisão, que são as quantias 🎉 que se pode ganhar ou perder em função desta decisão;

b) as probabilidades associadas a essas conseqüências.

No caso específico de loteria 🎉 esportiva, será necessário estimar a probabilidade de uma aposta ser vencedora (fazer 13 pontos), e também o prêmio que cabe 🎉 a uma aposta, caso ela seja vencedora (função do número de apostas vencedoras do teste).

Analisando as três estratégias, temos:1.

Estratégia A: 🎉 neste caso, já que há ausência total de informação sobre os jogos, a probabilidade de a aposta ser vencedora é 🎉 π = 1/1.594.

323 , já que existem 1.594.

323 resultados possíveis para o teste.

O número de apostas vencedoras do teste, n, 🎉 será 1/1.594.

323 vezes o número total de apostas feitas no teste, N, ou seja:

Chamando de p o preço de uma 🎉 aposta (atualmente p = 5), e de f a fração da arrecadação que é distribuída entre os acertadores (atualmente f 🎉 = 0,3150), o "rateio" de um teste, r, que é o dinheiro total a ser distribuído entre os acertadores, é 🎉 dado por:r = f P N

E o prêmio da nossa aposta será:1,S94 323

p = f P N x = f 🎉 P x 1.594.323

Substituindo /e p pelos valores:p = 0,3150 x 5 x 1.594.323 = Cr$ 2.511.058,73

Ou seja, apostando segundo esta 🎉 estratégia temos, para uma aposta, probabilidade π = 1/1.594.

323 de ganhar prêmio p = Cr$ 2.511.

058,73, o que corresponde a 🎉 um valor esperadoE = π P = 2.511.058,73/1.594.323 = Cr$ 1,58

Isto significa que pagamos Cr$ 5,00 por uma aposta de 🎉 valor esperado bem menor.

Devemos notar que, para esta estratégia, como seria de se esperar, a razão entre o valor esperado 🎉 do prêmio e o preço da aposta é igual a f a fração da arrecadação que é distribuída entre os 🎉 acertadores:= 0,315 = f2.

Estratégia B: Como a maioria dos apostadores tem o objetivo de "ganhar a loteria", sem se importar 🎉 com o prêmio, esta estratégia corresponde ao comportamento da maioria.

Comparada à estratégia anterior, esta apresenta maior probabilidade de fazer os 🎉 13 pontos (aumenta π) e também maior número de apostas vencendo o teste (aumenta n), conseqüentemente apresenta prêmio menor (diminui 🎉 P).

Em termos de valor esperado, E = π P, o aumento de π é relativamente menor que a diminuição de 🎉 P, e o valor esperado do prêmio é menor ainda que o da estratégia A.

Em outras palavras, a pessoa que 🎉 estuda os jogos da loteria esportiva e procura apostar nos favoritos está apostando pior (em termos de valor esperado) que 🎉 alguém que nunca ouviu falar em futebol.

Nas próximas páginas discutiremos melhor este ponto.3.

Estratégia C: Com base no que foi dito 🎉 acima, esta terceira estratégia seria a melhor, entre as três apresentadas: o apostador deve estudar os jogos e descobrir os 🎉 favoritos, mas não deve apostar neles ou, pelo menos, não em todos eles.

A explicação mais simples para este procedimento aparentemente 🎉 ilógico é que, sendo a loteria esportiva um jogo muito desfavorável ao apostador, a única maneira que ele dispõe para 🎉 tentar jogar melhor é jogar contra os demais apostadores, procurar fazer o contrário do que eles estão fazendo.

Comparada à estratégia 🎉 A, esta apresenta menor probabilidade de ser vencedora (menor π) mas, se vencedora, apresenta prêmio mais alto (maior P).

Em termos 🎉 de valor esperado, a diminuição de π é mais que compensada pelo aumento de P, resultando um valor esperado mais 🎉 alto.3.O EQUACIONAMENTO3.1 Probabilidade

Estamos interessados em determinar qual a probabilidade de uma aposta fazer 13 pontos na loteria esportiva, conhecidas as 🎉 probabilidades dos resultados possíveis em cada um dos 13 pontos.

Assim, chamaremos de c ij a probabilidade de resultado i no 🎉 jogo j, e também:i = 1 coluna um

i = 2 coluna do meioi = 3 coluna doisCom j (1, 2, 🎉 ...,13)

Evidentemente, para cada valor de j:ij= i

Supondo que os resultados dos jogos são independentes, a probabilidade de uma aposta ser 🎉 vencedora é o produto das probabilidades de acertar os 13 palpites que compõem a aposta.

Por exemplo, a probabilidade de fazer 🎉 13 pontos com a aposta abaixo:é dada por:π = c 1,1 .c 1,2 .c 2,3 .c 3,4 .c 2,5 .c 🎉 3,6 .c 2,7 .c 1,8 .c 1,9 .c 1,10 .c 2,11 .c 2,12 .c 3,133.2 Prêmio

Agora estamos interessados em determinar 🎉 qual o prêmio que caberá a uma aposta, se ela for vencedora.

Este prêmio é dado por:P =

onde supomos conhecidos f, 🎉 p, N.

Resta então determinar n, número de apostas que fazem 13 pontos no teste, dados os resultados dos jogos.

Para fazer 🎉 isto, vamos supor conhecida a forma como se distribuem os palpites por jogo.

Então chamaremos de d ij a "demanda" pelo 🎉 resultado i no jogo j; esta demanda vem a ser a relação entre o número de apostas com palpite i 🎉 no jogo j e o número total de apostas.

Exemplificando, imaginemos que, num certo teste, tivéssemos um total de 80 milhões 🎉 de apostas, e que no jogo 4 (por exemplo Flamengo x São Cristóvão) tivéssemos 64 milhões de palpites na coluna 🎉 um, 12,8 milhões na coluna do meio e 3,2 milhões na coluna dois.

Neste caso, teríamos:d 1,4 = = 0,80d 2,4 🎉 = = 0,16d 3,4 = = 0,04

Supondo que as demandas pelos resultados de um jogo são independentes das dos outros 🎉 jogos, o número de apostas que vencem o teste, dados os resultados dos jogos, é igual ao.

produto do número total 🎉 de apostas (N) pelo produto das 13 demandas pelos resultados dos jogos (D).

Assim, se os resultados dos jogos fossem aqueles 🎉 da aposta mostrada em 3.

1, o número de apostas com 13 pontos seria:D = d 1,1 .d 1,2 .d 2,3 🎉 .d 3,4 .d 2,5 .d 3,6 .d 2,7 .d 1,8 .d 1,9 .d 1,10 .d 2,11 .d 2,12 .d 3,13

Podemos 🎉 agora calcular o prêmio:p =

Cabe observar que P independe de N e que o produto f .

p é uma constante 🎉 estabelecida pela administração da loteria esportiva (atualmente f .p = 1,575).

Concluímos então que o prêmio de uma aposta depende apenas 🎉 das demandas, estando entretanto sujeito à restrição p < r, pois P > r significaria número de acertadores menor que 🎉 1.4.ESTRATÉGIA PROPOSTA

Já que podemos determinar a probabilidade de fazer 13 pontos com uma aposta, e também prêmio correspondente, podemos então 🎉 formular o problema do apostador como uma árvore de decisão, composta de apenas um ponto de decisão, de onde partem 🎉 1.594.

323 ramos, cada um correspondente a uma possível aposta, conforme a figura 1.

Este problema seria facilmente resolvido se conhecêssemos a 🎉 função de utilidade do apostador para este tipo de jogo: escolheríamos a aposta de maior utilidade esperada ou, caso o 🎉 apostador desejasse escolher n apostas (despendendo uma quantia n .

p) escolheríamos as n apostas de maior utilidade esperada.

Entretanto, convém ressaltar 🎉 que a loteria esportiva é um jogo bastante específico, função dos altos prêmios e baixas probabilidades envolvidas.

Assim, fica difícil explicitar 🎉 as preferências do apostador com perguntas do tipo: "Você prefere ganhar Cr$ 10 milhões com probabilidade de 1 em 1 🎉 milhão, ou ganhar Cr$ 50 milhões com probabilidade de 1 em 4 milhões?" Por isto preferimos abordar o problema impondo 🎉 restrições quanto à probabilidade e ao prêmio mínimos que uma aposta deve ter para ser jogada, ao invés de maximizar 🎉 a utilidade esperada.

Exemplificando, imaginemos um apostador indiferente ao risco: ele alocará a quantia que se dispõe a jogar de maneira 🎉 a maximizar o valor esperado.

Porém, como já foi comentado anteriormente, as apostas de maior valor esperado são as menos prováveis 🎉 (e de maior prêmio); então suponhamos que nosso apostador está disposto a jogar Cr$ 500 na loteria esportiva.

Ele deverá escolher 🎉 as 100 apostas de maior valor esperado; suponhamos que cada uma destas apostas tem π = 1/5 milhões e p 🎉 = Cr$ 50 milhões.

Nosso apostador tem, portanto, probabilidade de 1/50 mil de ganhar Cr$ 50 milhões, com valor esperado igual 🎉 a Cr$ 5 mil, para um jogo de Cr$ 500,00.

Este é, sem dúvida, um jogo francamente favorável ao nosso apostador.

Outro 🎉 apostador, avesso ao risco, poderia discordar desta estratégia, argumentando que 1/50 mil é uma probabilidade extremamente baixa, que corresponde a 🎉 ganhar uma vez cada 50 mil semanas, ou seja, uma vez cada milênio.

Ele poderia preferir, por exemplo, o seguinte esquema 🎉 para apostar Cr$ 500,00: só interessam apostas com valor esperado maior que Cr$ 5,00 (o preço p da aposta) e 🎉 com prêmio maior que Cr$ 5 milhões; então deve-se escolher as 100 apostas mais prováveis (de maior π) que satisfazem 🎉 as restrições impostas.

Esta é a estratégia que propomos: consideramos que o apostador está preocupado com três variáveis interdependentes (prêmio, probabilidade 🎉 e valor esperado), consegue especificar limites mínimos para duas delas e quer maximizar a terceira.

Assim, especificados os limites mínimos para 🎉 duas variáveis, ele deve escolher as apostas de mais alto valor da terceira, até esgotar o orçamento disponível.

É interessante notar 🎉 que esta estratégia contém todas aquelas citadas anteriormente, exceto a de jogar aleatoriamente.

Podemos apostar de maneira a apenas maximizar a 🎉 probabilidade de ganhar, não usando as restrições de prêmio e valor esperado, ou especificando P > 0 e também E 🎉 > 0; se quisermos apenas maximizar valor esperado, podemos especificar P > 0 e ir > 0.

Notemos também que, quando 🎉 o apostador especifica as restrições que ele quer impor para seu jogo, ele o faz de acordo com jogos de ganhar dinheiro via pix aversão 🎉 ao risco, sem que seja explicitada uma função de utilidade; por exemplo, se ele estiver maximizando valor esperado ou prêmio, 🎉 quanto maior jogos de ganhar dinheiro via pix aversão ao risco, maior será o limite de probabilidade que ele especificará.

5.A APLICAÇÃO5.1 Generalidades

Com o objetivo de 🎉 aplicar as idéias aqui expostas, desenvolvemos programa de computador que lê as estimativas das probabilidades c ij , e das 🎉 demandas d ij e, ainda, as restrições do apostador; o programa lista as apostas que satisfazem as restrições e fornece 🎉 algumas informações complementares.

Em nossa aplicação, o orçamento do apostador é suficiente para 200 apostas por teste (atualmente Cr$ 1 mil): 🎉 ele é maximizador de valor esperado, mas impõe restrições de probabilidade mínima.

O máximo de pontos por teste, em 30 vezes 🎉 que ele usou o modelo foi:5 pontos - 2 vezes6 pontos - 2 vezes7 pontos - 6 vezes8 pontos - 🎉 6 vezes9 pontos - 4 vezes10 pontos - 6 vezes11 pontos - 4 vezes

No item 6 comentaremos esses resultados.

No momento, 🎉 interessa discutir as dificuldades encontradas na aplicação.

Em primeiro lugar, as dificuldades de ordem prática: o tempo necessário para fazer a 🎉 estimativa dos dados e processá-los no computador é significativo - no mínimo 4 horas; além disso, a saída do programa 🎉 é uma lista de apostas (simples) que satisfazem às restrições, havendo, portanto, a necessidade de resolver o problema do palpite 🎉 duplo obrigatório no cartão e, resolvido este problema, aparece o trabalho de preencher muitos volantes de quantias pequenas.

De interesse mais 🎉 acadêmico são os problemas encontrados na estimativa de probabilidade e demanda.

5.2 Probabilidade

Não pretendemos discutir aqui a existência ou a natureza 🎉 das probabilidades subjetivas.

Admitimos que elas exprimam a opinião do apostador sobre as chances de cada resultado possível em um jogo.

Por 🎉 exemplo, se no jogo 4 (Flamengo x São Cristóvão) atribuímos:

c 1,4 = 80%; c 2,4 = 15%; c 3,4 = 🎉 5%

estamos atribuindo acentuado favoritismo ao Flamengo, maior que aquele atribuído ao Coríntians no jogo 5 (Coríntians x Juventus), onde atribuímos:

c 🎉 1,5 = 40%; c 2,5 = c 3,5 = 30%

Estes valores serão utilizados em equações para determinação de parâmetros que 🎉 deverão atender a restrições dò tipo maior ou igual (por exemplo, valor esperado > Cr$ 10,00).

Portanto é importante que as 🎉 probabilidades, além de representarem o grau relativo de favoritismo (num sentido ordinal, do tipo - o Flamengo é mais favorito 🎉 que o Coríntians), representem também o grau absoluto de favoritismo (num sentido cardinal do tipo - é duas vezes mais 🎉 fácil o Flamengo vencer o São Cristóvão do que o Coríntians vencer o Juventus).

5.3 Demanda

Uma tentativa de contornar as dificuldades 🎉 de atribuir tais probabilidades é recorrer a séries históricas - Flamengo e São Cristóvão jogaram N vezes, com M vitórias 🎉 do Flamengo.

Estas séries são apenas uma das fontes de informação visto que este jogo Flamengo x S.

Cristóvão é único, diferente 🎉 de todos que foram jogados no passado.

Devemos então procurar informações do tipo: O jogo é no campo de quem? Os 🎉 times estão em fase boa ou ruim? Jogam completos ou desfalcados? E assim por diante.

Estas informações, junto com a série 🎉 histórica - que traduziria a tradição - determinariam as probabilidades.

Sabemos que, nos jogos mais equilibrados, as probabilidades de cada um 🎉 dos resultados possíveis são da ordem de 1/3.

Já nos jogos menos equilibrados, não temos indicação de valores para as probabilidades.

Para 🎉 calibraras probabilidades atribuídas a estes jogos, temos usado um processo indireto.

Segundo amostragem que fizemos, um jogo com sete palpites triplos 🎉 e quatro duplos (34.

992 apostas) feito com objetivo de maximizar a probabilidade de fazer 13 pontos, vence a loteria uma 🎉 vez em cada quatro a cinco semanas.

Partindo desse resultado, atribuímos as probabilidades de modo a permitir que a probabilidade de 🎉 fazer os 13 pontos com o jogo de sete triplos e quatro duplos seja da ordem de 20 a 25%, 🎉 num teste normal.

Como os apostadores irão comportar-se em cada jogo? Quantos arriscarão uma zebra no jogo 4? Sem dúvida, a 🎉 única maneira correta de estimar as demandas por jogo é por meio de amostragem em casas lotéricas.

Alguns jornais de São 🎉 Paulo publicam resultados de amostragens deste tipo, mas não informam como elas foram feitas.

Em nossa aplicação não dispúnhamos de meios 🎉 para fazer amostragens; escolhemos, portanto, um caminho indireto.

Atribuímos valores às demandas de maneira subjetiva, de acordo com o que imaginamos 🎉 ser o comportamento dos apostadores.

No domingo, conhecidos os resultados dos jogos, temos condições de prever, a partir das demandas estimadas, 🎉 o número de acatadores do teste.

Na segunda-feira confrontamos nossa previsão com o número real de acertadores e podemos aferir a 🎉 posteriori nossa capacidade de estimar as demandas.

É interessante observar que as demandas publicadas nos jornais servem de base à nossa 🎉 estimação subjetiva, e que a previsão do número de acertadores feita com as demandas do jornal tem-se mostrado pior que 🎉 aquela feita usando as demandas subjetivas.

Um ponto que tem importância conceituai é a questão da independência entre as demandas de 🎉 jogo.

Fizemos hipótese de que exista esta independência, mas o fato é que, quando o apostador preenche o seu volante, ao 🎉 marcar o palpite em um jogo, ele leva em conta o que já marcou (ou vai marcar) nos outros.

Assim, imaginemos 🎉 um teste onde tivéssemos dois jogos desequilibrados em que, para cada um deles, a demanda pelo resultado menos provável fosse 🎉 10%; ignorando os outros jogos, se em um dos dois jogos em questão ocorresse o resultado improvável, apenas 1/10 das 🎉 apostas acertariam.

Se no outro também ocorresse o resultado improvável teríamos, teoricamente, 1/100 das apostas acertando.

O ponto a questionar é: será 🎉 que realmente 10% dos que marcaram o primeiro resultado improvável marcaram também o segundo? Parece-nos que não, pois o apostador 🎉 que marcou o primeiro relutaria em marcar também o outro resultado improvável, pois estaria tornando jogos de ganhar dinheiro via pix aposta excessivamente improvável.

O mesmo 🎉 tipo de raciocínio faz supor que, se algum dia o resultado de um teste for, em todos os jogos, a 🎉 derrota do favorito, teremos dezenas de acertadores (os que jogam tudo ao contrário) ao invés de um ou nenhum.

Entretanto, por 🎉 falta de alternativa teórica, fizemos nossa aplicação supondo que exista aquela independência.

6.CONCLUSÃO

De tudo que foi exposto, podemos tirar algumas conclusões.

Em 🎉 primeiro lugar, quanto à loteria esportiva, como jogo: ela é, possivelmente, o jogo mais desfavorável ao apostador que temos no 🎉 Brasil, aí incluindo os jogos "fora da lei" como jogo do bicho, jogos de cassino, etc.

Se pensarmos no apostador médio, 🎉 que procura apostar nos favoritos, então o jogo é mais desfavorável ainda: por exemplo, no teste 438, segundo dados estimados 🎉 por nós, a aposta mais provável tinha probabilidade de 1/15.

831 de se tornar vencedora, e a ela corresponderia um prêmio 🎉 de Cr$ 9.706,15 (9.

767 acertadores), com valor esperado igual a Cr$ 0,61, correspondente a apenas 12% do preço da aposta.

Quanto 🎉 à estratégia aqui proposta, não acreditamos que ela seja interessante para ser aplicada por um apostador comum.

Isto porque, em primeiro 🎉 lugar, ela exige uso de computador e algumas horas de trabalho intelectual, para se chegar à decisão de como apostar; 🎉 em segundo lugar, porque dificilmente teremos lucro no curto prazo sem apostar quantias altas.

Por exemplo, em nossa aplicação, apostando Cr$ 🎉 1 mil por semana, tínhamos probabilidade de 1/800 em cada teste, de ganhar cerca de Cr$ 4 milhões.

Em termos de 🎉 valor esperado é ótimo, mas a probabilidade de 1/800 significa ganhar uma vez em cada 16 anos.

Talvez esta fosse uma 🎉 boa estratégia para grupos de apostadores, que se reunisse para jogar empresariamente quantias elevadas.

Acreditamos, entretanto, que a abordagem do tema 🎉 loteria esportiva sob o ângulo da teoria da decisão tenha algum interesse acadêmico.

Este trabalho não tem a pretensão de esgotar 🎉 o assunto; pelo contrário, ele deixa em aberto .

pontos importantes, como por exemplo a aplicação de funções de utilidade e 🎉 a previsão do número de acertadores sem que se suponha independência entre as demandas por jogo.

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